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Extremos absolutos y relativos

Cuando trabajamos con funciones que dependen de una o varias variables, en ocasiones es interesante determinar cuáles son los valores máximo y mínimo que toma dicha función y en qué puntos se alcanzan. Incluso, también es interesante realizar este mismo estudio, pero localmente, es decir, en un entorno del punto. Éstos últimos son llamados extremos relativos.

Definición 2.1 Extremos absolutos

Sean una función definida en un dominio y un punto perteneciente a dicho dominio.

Se dice que alcanza un máximo absoluto en el punto si para todo punto , se cumple que .

Se dice que alcanza un mínimo absoluto en el punto si para todo punto , se cumple que .

Definición 2.2 Extremos relativos

Sean una función definida en un dominio y un punto del interior de dicho dominio.

Se dice que alcanza un máximo relativo en el punto si existe un entorno del punto en tal que para todo punto , se cumple que .

Se dice que alcanza un mínimo relativo en el punto si existe un entorno del punto en tal que para todo punto , se cumple que .

Los conceptos de máximo y mínimo absolutos surgen de estudiar la función globalmente, mientras que los de máximo y mínimo relativos tratan con la función localmente.

No obstante, dada una función de dos o más variables, en general, no tenemos garantizada la existencia ni de extremos absolutos ni de extremos relativos. Así que antes de exponer los pasos para el cálculo de los mismos, necesitamos un criterio a partir del cual podamos garantizar la existencia de éstos. Se trata del Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Teorema 2.1 Teorema de Bolzano-Weierstrass

Sea una función definida en un dominio . Si es una función continua en y dicho conjunto es cerrado y acotado entonces alcanza, al menos, un máximo y un mínimo absolutos.

Obsérvese que el teorema nos da una condición suficiente que nos garantiza la existencia de un máximo y un mínimo absolutos: basta comprobar que la función es continua y que es cerrado y acotado. Sin embargo, no dice nada acerca de la posible existencia de máximos o mínimos relativos.

Por otra parte, aunque la exposición con detalle nos llevaría mucho tiempo en este resumen, sí que resulta conveniente hacer, al menos, una breve aclaración acerca de lo que entendemos por un conjunto cerrado y acotado en . Para ello, nos apoyaremos, como siempre, en , que es conocido por todos.

En , el intervalo es el conjunto de puntos tales que . Este conjunto es cerrado y acotado. Es cerrado porque en él están incluidos los puntos de la frontera, es decir, y . Y es acotado, porque existen dos valores, y tales que , para todo . En cambio, el intervalo es el conjunto de puntos tales que . Este conjunto es abierto y acotado. Es abierto porque en él no están incluidos ninguno de los puntos de la frontera, es decir, ni ni . Pero es acotado, porque existen dos valores, a y tales que , para todo . Los intervalos y no son ni cerrados ni abiertos, porque hay puntos de la frontera que pertenecen a ellos y puntos que no; sin embargo ambos son también acotados. Por último, intervalos cerrados pero no acotados en serían, por ejemplo, , o , e intervalos abiertos no acotados son, entre otros, , o .

En o en , diremos que un subconjunto de puntos es cerrado si viene determinado por igualdades o desigualdades parciales, también llamadas no estrictas, es decir, por desigualdades del tipo o . Por ejemplo, cualquier curva en el plano o en el espacio y cualquier superficie en el espacio son conjuntos cerrados, porque vienen determinados por una o dos ecuaciones (igualdades).

En , por ejemplo, el conjunto representa, geométricamente, al círculo de centro y radio 1. Su frontera es la circunferencia y está incluida en . Por tanto, se dice que es cerrado. En cambio, el conjunto representa, geométricamente, al interior del círculo de centro y radio 1. En este caso, ninguno de los puntos de su frontera (la circunferencia ) pertenece a , por lo que se dice que es un abierto.

En , por ejemplo, el conjunto es el formado por los puntos del sólido limitado por el paraboloide elíptico y el plano . Su frontera son, precisamente, el citado paraboloide elíptico y el círculo , y ambos están contenidos en . Por tanto, se dice que es cerrado. En cambio, el conjunto de puntos es abierto, porque su frontera no está contenida en él.

En o en , diremos que un subconjunto de puntos es acotado si para cada una de las variables, existen dos valores y entre los que se encuentra. Por ejemplo, el conjunto es acotado, porque y . El conjunto también es acotado, porque , y .