Derivadas Parciales. Rectas y planos tangentes

Plano tangente a una superficie dada mediante unas ecuaciones paramétricas

Consideremos una superficie definida mediante unas ecuaciones paramétricas de la forma

y sea un punto perteneciente a ella.

Paso 1. Hallamos los valores y que determinan el punto en la parametrización.

Paso 2. Calculamos a continuación los vectores

y los multiplicamos vectorialmente: para obtener así el vector normal. Si denotamos a dicho vector por , deducimos que la ecuación implícita del plano tangente a la superficie por el punto es

Ejemplo 3.1.1 Hallar la ecuación implícita y unas ecuaciones paramétricas del plano tangente a la superficie por el punto .

Resolución.

La superficie viene dada mediante una ecuación implícita de la forma , siendo . Calculamos en primer lugar el vector gradiente en el punto :

Por consiguiente, la ecuación del plano tangente a la superficie por es

con lo que nos queda

Hallar unas ecuaciones paramétricas de un plano después de haber obtenido su ecuación implícita es una tarea bien sencilla. Basta despejar una de las variables como función de las otras dos y considerar como parámetros a estas últimas. Por ejemplo, en este caso, unas ecuaciones paramétricas del plano anterior son

Ejemplo 3.1.2 Dada la superficie , hallar la ecuación implícita y unas ecuaciones paramétricas del plano tangente a por .

Resolución.

En primer lugar, hallamos los valores y que determinan el punto . Para ello, resolvemos el sistema

cuya solución es y . En segundo lugar, hallamos los vectores y en el punto :

Hallamos el vector normal del plano:

Por consiguiente, la ecuación del plano tangente a por el punto es

quedando de un modo más simplificado como

Para determinar unas ecuaciones paramétricas del citado plano, basta despejar una de las variables como función de las otras dos y considerar como parámetros a estas últimas. Por ejemplo

Consideremos una curva de ecuaciones paramétricas , con , siendo , , funciones derivables. Sea un punto perteneciente a la curva. Esto implica la existencia de algún valor tal que . Por otra parte, el vector tangente a la curva en cada punto es el vector . En particular, el vector tangente a la curva por el punto será . Éste será, por tanto, el vector director de la recta tangente a la curva por el punto . Por consiguiente, con el punto y con el vector director , las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva por el punto son

Supongamos ahora que tenemos una curva definida mediante unas ecuaciones implícitas de la forma , y consideremos un punto perteneciente a ella. Después de ver el procedimiento anterior, bastaría con parametrizar la curva y determinar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente según acabamos de ver. No obstante, existe un razonamiento alternativo muy interesante y, generalmente, sencillo.

Sabemos que, desde el punto de vista geométrico, las ecuaciones implícitas de una curva representan la intersección de dos superficies. En este caso, tenemos que la curva viene determinada mediante la intersección de las superficies y o, dicho con otras palabras, que la curva está contenida en la superficie y en la superficie . Esto significa que la recta tangente a por el punto está contenida en el plano tangente a por y en el plano tangente a por . Si estos dos planos no son coincidentes, entonces la recta tangente a la curva por el punto vendrá dada por la intersección de los dos planos, esto es,

Ejemplo 4.1 Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva , con , en el punto .

Resolución.

En primer lugar, buscamos el valor de que define el punto de la curva. Para ello, resolvemos el sistema

cuya solución es . El vector tangente a la curva en cada punto es y, en particular, en el punto es . La recta tangente a la curva por el punto será, pues, la recta que pasa por y tiene vector director , con lo que sus ecuaciones paramétricas son

esto es,

Ejemplo 4.2 Hallar unas ecuaciones implícitas de la recta tangente en el punto a la curva de ecuaciones .

Resolución.

Definimos las funciones y . La curva es la resultante de la intersección de las superficies. Los vectores normales a cada superficie son

Los planos tangentes a ambas superficies por el punto son

Por consiguiente, unas ecuaciones implícitas de la recta tangente a la curva por el punto son . Si nos hubiesen pedido también unas ecuaciones paramétricas de la misma recta, bastaría con parametrizar las ecuaciones obtenidas: