El plano tangente a una superficie
Definición 3.1 Plano tangente a una superficie
Dados una superficie 
y un punto 
perteneciente a ella, se llama plano tangente a la superficie 
por el punto 
al único plano que contiene a todas las rectas tangentes en 
de todas las curvas contenidas en S que pasan por 
.
La Regla de la Cadena puede ser aplicada para deducir la ecuación del plano tangente a una superficie. Consideremos una superficie cualquiera 
en el espacio, de ecuación implícita 
, y una curva 
contenida en 
, de ecuaciones paramétricas 
con 
. Como la curva 
está contenida en la superficie 
, cada punto de la misma debe satisfacer la ecuación 
, de modo que tenemos que
, para cada 
. (3.1)
Es decir, tenemos una función 
que depende de tres variables, 
, 
, 
, y en la que cada una de ellas es función de una variable 
. Por tanto, podemos considerar a 
como una función de 
, y como tal, derivarla. Obsérvese que (3.1) es una igualdad de dos funciones, la citada función 
y la función 0. Es obvio decir que la derivada de la función 0 es 0. Así que la ecuación (3.1) implica que
Aplicando la Regla de la Cadena, nos queda
o, lo que es lo mismo,
La conclusión a la que llegamos es que el vector tangente a la curva 
, esto es, 
, es perpendicular al vector gradiente de la función 
, que es 
. Pero recordemos que 
es una curva cualquiera contenida en 
y que el vector tangente a cualquier curva contenida en 
, por definición, está contenido en el plano tangente a la superficie. Así pues, deducimos que el vector gradiente 
es perpendicular a todas las direcciones contenidas en el plano tangente a 
y, por consiguiente, es el vector perpendicular al plano tangente a 
.
Supongamos ahora que tenemos una superficie definida mediante unas ecuaciones paramétricas
y consideremos un punto 
perteneciente a 
. Esto significa que existe un par 
tal que 
. Por otra parte, sabemos también que existen dos curvas coordenadas que pasan por el punto 
, que son
y 
El vector tangente a la curva 
por el punto 
es
mientras que el vector tangente a la curva 
por el punto 
es
Teniendo en cuenta la Definición 3.1, el plano tangente a la superficie 
por el punto 
debe contener a los vectores 
y 
. Ahora bien, cualquiera de los dos productos vectoriales 
o 
es igual a un vector que es perpendicular al mismo tiempo a 
y a 
. Por consiguiente, 
es el vector normal a la superficie 
por el punto 
.
Estos dos razonamientos nos proporcionan sendos procedimientos para determinar la ecuación del plano tangente a una superficie por uno de sus puntos.