Derivadas direccionales. Gradiente
Como acabamos de ver, las derivadas parciales en cada punto miden el cambio de la función 
cuando nos movemos desde el punto en direcciones paralelas a los ejes coordenados. Sin embargo, no sólo son posibles los movimientos en las direcciones de los ejes coordenados, sino que en el plano hay infinitas direcciones. Consideremos una dirección cualquiera en el plano, 
. Nos planteamos estudiar el ritmo de cambio de la función 
cuando nos movemos desde en el punto 
en la dirección y sentido del vector 
.
Definición 1.3.1 Derivada direccional
Sean 
una función definida en un dominio abierto 
y 
un punto cualquiera. Se define la derivada direccional de 
en el punto 
según la dirección y sentido del vector 
como
Geométricamente, la derivada direccional representa la tasa de crecimiento en la superficie 
desde el punto 
cuando nos movemos en la dirección y sentido del vector 
del plano (ver Figura 1.3.1). Por consiguiente, la derivada direccional sirve para estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función 
en todas las direcciones.
Figura 1.3.1 Interpretación geométrica de la derivada direccional.
Obsérvese que las derivadas parciales de 
respecto de 
e 
son casos particulares de derivadas direccionales. En efecto, recuérdese que 
mide la variación de 
cuando nos movemos en la dirección del eje 
. Esa dirección y sentido se corresponden con el ángulo 
, con lo que tenemos que el vector unitario es 
. Por tanto,
Análogamente, 
mide la variación de 
cuando nos movemos en la dirección del eje 
, con lo que el ángulo es 
y, por tanto, el vector unitario es 
. Luego,
El siguiente teorema nos aporta un criterio muy sencillo para el cálculo efectivo de la derivada direccional, hasta el punto de que sólo necesitamos conocer los valores de las derivadas parciales de la función respecto a 
e 
para determinar cualquiera de las infinitas derivadas direccionales.
Teorema 1.3.1 Sean 
una función definida en un dominio abierto 
y 
un punto cualquiera. Si existen las derivadas parciales 
y 
y son continuas en 
, entonces, para cualquier vector unitario 
, se cumple que
Definición 1.3.2 Vector gradiente
Al vector 
se le llama gradiente de la función 
en el punto 
, y se denota por 
.
El Teorema 1.3.1 nos dice que para calcular la derivada direccional de una función 
según un vector unitario 
, basta multiplicar escalarmente dicho vector por el vector gradiente de la función, 
. Así que, si denotamos por 
al ángulo que forman ambos vectores, entonces
Esto nos permite responder a la siguiente cuestión: ¿Cuáles son las direcciones en las que el crecimiento de 
es máximo y mínimo, respectivamente? Teniendo en cuenta que 
, el ángulo 
para el que 
es máximo es aquel para el que el coseno toma su máximo valor, 1. Por tanto, 
, lo cual significa que el vector 
debe tener la misma dirección y sentido que 
. Por consiguiente, la dirección y sentido de máximo crecimiento de la función 
en cada punto es 
. Análogamente, el ángulo 
para el que 
es mínimo es aquel para el que el coseno toma su valor más pequeño, 
. Por tanto, 
, lo cual significa que el vector 
debe tener la misma dirección que 
pero sentido contrario. En este caso, tenemos que la dirección y sentido de mínimo crecimiento de la función 
en cada punto es 
.