Algunas integrales indefinidas

Existen muchas integrales de las llamadas inmediatas. Para ello, remitimos al alumno a la Tabla de Integrales Inmediatas expuesta en la carpeta Material de apoyo del Curso Virtual o a la de cualquier libro de cálculo integral de una sola variable. En este apartado pretendemos dar un pequeño repaso de algunos tipos de integrales y métodos de integración, con especial atención, entre estos últimos, al de integración por partes.

1.Fórmula de integración por partes

La fórmula de integración por partes es la siguiente:

La fórmula de integración por partes es aplicable cuando el integrando se puede expresar como producto de dos funciones, una de las cuales tiene integral inmediata y la otra, al derivarla, "reduce su complejidad". Dicho con otras palabras, se trata de asignar a la parte del integrando que sea fácilmente integrable y cuya integral no nos conduzca a una nueva función más complicada, mientras que dejamos para al resto de factores. Teniendo en cuenta lo dicho para , nos preguntamos cuáles son las funciones fácilmente integrables y cuya primitiva no incrementa su complejidad. El ejemplo más claro es la exponencial o, en general , con , . Sabemos que una primitiva de es que, salvo la constante multiplicativa , es idéntica a la función exponencial. Otro tipo de funciones muy adecuadas para asignarlas al son las funciones seno y coseno. Unas primitivas de las funciones y son, respectivamente, y . Es decir, cuando integramos las funciones seno y coseno nos vuelven a salir funciones coseno y seno, salvo constante. Veamos algunos ejemplos en los que es muy aplicable el Método de integración por partes.

Ejemplo 1.2.1.1 Hallar las integrales indefinidas siguientes:

Resolución.

(a) En este apartado, nos encontramos con un integrando en el que aparece un polinomio y la exponencial . Siempre que nos encontremos con la exponencial, ésta ha de ser asignada al por la razón expuesta anteriormente. De hecho, en este caso con más razón debemos hacer esto y asignar a , debido a que cuando calculemos tenemos que derivar y la derivada de cualquier polinomio es siempre otro polinomio cuyo grado es una unidad menor (por tanto, es una función más sencilla que ). Veámoslo:

(b) Ahora tenemos el producto de un polinomio por una función coseno. En ese caso, el coseno debemos asignarlo al y dejar, como siempre, el polinomio para :

(c) Ahora nos encontramos en el integrando un logaritmo neperiano. El logaritmo ni siquiera es integrable de forma inmediata, de ahí que de forma obligatoria debemos asignarlo a :

(d) La integral que nos encontramos ahora es un tanto especial. Obsérvese que anteriormente hicimos hincapié en el hecho de que las funciones exponencial, seno y coseno son las más adecuadas para asignarlas a . Ahora nos encontramos con el producto de dos de ellas, con lo cual, podemos optar por cualquiera de las dos opciones. En la resolución del ejemplo, tomaremos la exponencial. Pero el carácter especial de la integral está en el razonamiento que hay que hacer para resolverla. Estamos ante una de las llamadas integrales periódicas o cíclicas, que se caracterizan porque tras aplicar dos veces el método de integración por partes, volvemos a obtener la integral original. Veamos cómo se calcula: Denotemos por al valor de la integral que queremos calcular, es decir,

Aplicamos el Método de Integración por partes y nos queda:

es decir, llegamos a la conclusión de que

Basta despejar para deducir la solución de la misma:

2 Integrales trigonométricas

Las funciones trigonométricas directas (seno, coseno y tangente) tienen integrales inmediatas. Todas las integrales trigonométricas inmediatas están recogidas en la Tabla de Integrales Inmediatas que se puede descargar desde el Curso Virtual. No obstante, las recordamos también aquí:

En este apartado, centraremos nuestra atención en el cálculo de algunas integrales indefinidas que precisan del uso de alguna de siguientes fórmulas trigonométricas:

Las dos últimas identidades se conocen con el nombre de fórmulas del coseno del ángulo doble y sirven para calcular la integral doble del cuadrado del seno y del coseno, puesto que nos permiten expresar la integral original como suma de dos integrales inmediatas. En efecto,

Las fórmulas del coseno del ángulo doble se utilizan para calcular integrales en las que aparecen el seno y el coseno elevados a una potencia par. Por su parte, la identidad
se utiliza para calcular las integrales en las que aparecen el seno y/o el coseno elevados a una potencia impar mayor o igual que 3. Veamos algunas de ellas.

Ejemplo 1.2.2.1 Hallar las siguientes integrales indefinidas:

Resolución.

(a) Usaremos dos veces la fórmula del coseno del ángulo doble:

(b) En este caso, como tenemos un coseno elevado a una potencia impar, aplicamos la identidad :

(d) Aquí utilizamos las fórmulas del coseno del ángulo doble:

3 Cambio de variables trigonométrico

Como ya sabemos, existen numerosos cambios de variables que nos permiten abordar el cálculo de ciertos tipos de integrales indefinidas. Repasar algunos de ellos haría muy extenso este resumen, aparte de ser algo que no forma parte de los objetivos de este tema. Sin embargo, hay un cambio de variables con el que sí es probable que nos encontremos en algunos de los problemas que resolveremos en éste o en los temas siguientes: es el cambio de variables trigonométrico. Este cambio de variables se usa para resolver una integral del tipo