Área de una superficie cualquiera en el espacio
La integral de superficie es una herramienta válida para el cálculo de áreas una superficie cualquiera en el espacio, tal y como vamos a ver a continuación.
Definición 3.1.1 Área de una superficie
Sea S una superficie regular, cerrada y acotada en el espacio. Entonces el área de S viene determinada por
Ejemplo 3.1.1 Hallar el área el trozo S de cono 
limitado por el cilindro 
.
Resolución.
Vemos en la Figura 3.1.1 el corte de las superficies entre sí.
Figura 3.1.1 Representación gráfica de las superficies del Ejemplo 3.1.1.
No obstante, nos piden hallar la integral de superficie sólo sobre un trozo de cono 
, de ahí que será sólo ésa la superficie que tenemos que parametrizar. El papel que desempeña el cilindro 
es el de "limitador" del trozo 
. El área de cualquier superficie 
viene determinada por
Figura 3.1.2 Representación exacta del trozo de cono del Ejemplo 3.1.1.
Podemos ver en la Figura 3.1.2 que el cono cuyo área queremos determinar tiene dos trozos simétricos respecto del plano 
, con lo cual, basta determinar el área del trozo de arriba y multiplicar por dos el resultado. Así pues, comenzamos parametrizando el trozo superior de la superficie 
. Aunque la superficie no viene dada mediante una ecuación explícita, sí podríamos deducir dicha ecuación, teniendo en cuenta que nos estamos refiriendo sólo al trozo en que 
. Así pues, tenemos que
.
Ahora sí, tomando como referencia la ecuación explícita, es inmediato deducir unas paramétricas:
Necesitamos precisar la proyección de dicho trozo de 
sobre 
. Para ello, como siempre, desde el punto de vista matemático, sólo podemos proyectar la-s curva-s que determinan su frontera. En este problema, sólo necesitamos proyectar la curva resultante de la intersección del cono 
con el cilindro 
. Buscamos el cilindro proyectante:
de donde obtenemos el cilindro 
, es decir, 
. Se trata de un cilindro elíptico que, al cortarlo con el plano 
, nos da como resultado la elipse de centro 
y semiejes de longitudes 
y 1. Por consiguiente, la proyección de S sobre el plano OXY es el interior de la citada elipse.
Buscamos ahora el vector normal a 
en cada punto. Como la superficie viene dada de forma explícita, 
, teniendo en cuenta la parametrización que hemos elegido, los vectores normales a la misma serán
y
Es indiferente para nosotros considerar uno u otro, puesto que para el cálculo de la integral de superficie de una función escalar sólo necesitamos su módulo. Así que
Con todo ello, ya estamos en condiciones de plantear la integral de superficie como una integral doble:
(Recuérdese que el área de una elipse con semiejes de longitudes a y b es 
).
Ejemplo 3.1.2 Hallar el área del trozo de cilindro 
de ecuación 
limitado en el semiespacio 
por la esfera 
y por el plano 
.
Resolución.
Vemos en la Figura 3.1.3 el corte de las superficies entre sí.
Figura 3.1.3 Intersección de las superficies entre sí.
El trozo 
es una superficie cilíndrica cuya base está contenida en el plano 
y es la directriz del cilindro, es decir, la circunferencia 
de centro 
y radio 
. Nos piden hallar la integral de superficie sólo sobre un trozo de cilindro 
, de ahí que será sólo ésa la superficie que tenemos que parametrizar. El papel que desempeñan la esfera 
y el plano 
es el de "limitadores" del trozo 
.
Figura 3.1.4 Representación exacta del cilindro.
En la Figura 3.1.4 vemos representado de manera exacta el trozo de cilindro cuya área queremos determinar. El área de cualquier superficie 
viene determinada por
Comenzamos parametrizando el trozo de cilindro. Unas ecuaciones paramétricas son
Se ve claramente que 
. Donde necesitamos precisar más es en el intervalo de variación del otro parámetro: 
. Para ello, basta observar que dicho parámetro recorre los puntos que van desde el plano 
hasta la esfera 
. Basta despejar 
en las ecuaciones de cada una de las dos superficies para determinar su intervalo de variación. En el primer caso es evidente, mientras que en el segundo, debemos tomar raíz cuadrada y quedarnos sólo con la positiva, porque estamos determinando el área sólo del trozo de cilindro que se encuentra en el semiespacio 
. Por consiguiente, tenemos que 
. No podemos quedarnos con el intervalo así tal cual, puesto que en las paramétricas de la superficie, 
e 
son funciones de 
, de modo que
Así pues, 
. De este modo, unas ecuaciones paramétricas son
Calculamos el vector normal y su módulo:
Finalmente, planteamos la integral:
