La integral triple y sus aplicaciones

Cambio de variables a coordenadas esféricas.

Uno de los cambios más utilizados en integrales triples es el llamado cambio a coordenadas esféricas.

Fijemos un sistema de referencia cartesiano y denotemos por al origen de coordenadas. Dado un punto cualquiera de coordenadas cartesianas , consideremos el punto , es decir, es la proyección del punto sobre el plano . Definimos los parámetros siguientes:

: Es la distancia entre los puntos y , es decir, .

Es el ángulo que forma el vector con el plano .

Es el ángulo que forma el vector con el eje .

En la Figura 6.1.1 podemos ver gráficamente el significado de los nuevos parámetros.

Figura 6.1.1 Coordenadas esféricas de un punto en el espacio.

Si observamos la figura anterior podemos deducir claramente las ecuaciones del cambio a coordenadas esféricas:

Asimismo, podemos comprobar fácilmente que el jacobiano de este cambio es .

El cambio a coordenadas esféricas tiene otras variantes, pero nos conformaremos sólo con esta versión del mismo. Veamos a continuación dos ejemplos en los que se usa dicho cambio para calcular la integral triple de una función.

Ejemplo 6.1.1. Calcular, mediante el cambio a coordenadas esféricas, la integral triple de la función sobre la región definida por las desigualdades y .

Resolución.

Obsérvese que las ecuaciones y pueden ser expresadas como y , respectivamente. Los puntos que satisfacen la desigualdad son los puntos exteriores a la esfera de centro y radio , mientras que los puntos que satisfacen la desigualdad son los puntos interiores a la esfera de centro y radio 1. Como ambas desigualdades se han de satisfacer conjuntamente, deducimos que la región sobre la que debemos integrar es la formada por los puntos que son, al mismo tiempo, exteriores a la esfera e interiores a la esfera . Ambas esferas podemos verlas en la Figura 6.1.2, de modo que es el espacio que queda entre ambas.

Figura 6.1.2 Región de integración del Ejemplo 6.1.1.

Consideremos el cambio a coordenadas esféricas . Debemos determinar cuáles son los intervalos de variación de los nuevos parámetros.

Comenzamos con el ángulo . La variación del parámetro la conocemos a partir de la proyección del sólido sobre (ver Figura 6.1.3). Para ello, nos preguntamos cuál es el intervalo de variación de para el que hay puntos en esa proyección. Según vemos en dicha figura, el intervalo es , por lo que deducimos que .

Figura 6.1.3 Proyección sobre del sólido del Ejemplo 6.1.1.

Ahora, fijado un ángulo cualquiera , consideramos la superficie resultante de cortar al sólido por un plano vertical que forma un ángulo con el eje . En ella, nos preguntamos cuáles son los valores mínimo y máximo de para los que hay puntos en . En este caso, vemos que dichos valores son siempre y y, por tanto, . Finalmente, trazamos una semirrecta que parta del origen de coordenadas y corte al sólido . Esa semirrecta posee un segmento que está contenido en el sólido . Se trata de determinar los puntos de ese segmento que están más cercano y más alejado del origen de coordenadas. El punto más cercano se encuentra en la esfera , con lo cual, sustituimos las ecuaciones del cambio en la ecuación de la esfera y despajamos :

Por su parte, el punto más alejado se encuentra en la esfera ; así que repitiendo lo mismo que antes, llegamos a que

Luego .

Por último, sustituyendo el cambio en la función nos queda

Ya estamos en condiciones de plantear y resolver la integral:

Ejemplo 6.1.2 Calcular, mediante el cambio a coordenadas esféricas, la integral de la función sobre la región limitada por las superficies , y .

Resolución.

En la Figura 6.1.4 vemos el sólido sobre el que vamos a integrar la función .

Figura 6.1.4 Sólido encerrado entre la esfera, el paraboloide y el plano.

Consideremos el cambio a coordenadas esféricas . Debemos determinar cuáles son los intervalos de variación de los nuevos parámetros.

Figura 6.1.5 Proyección sobre del sólido del Ejemplo 6.1.2.

Comenzamos con el ángulo . La variación del parámetro la conocemos a partir de la proyección del sólido sobre (ver Figura 6.1.5). Para ello, nos preguntamos cuál es el intervalo de variación de para el que hay puntos en esa proyección. Según vemos en dicha figura, el intervalo es , por lo que deducimos que .

Ahora, fijado un ángulo cualquiera , consideramos la superficie resultante de cortar al sólido por un plano vertical que forma un ángulo con el eje . En ella, nos preguntamos cuáles son los valores mínimo y máximo de para los que hay puntos en . Es claro que el valor mínimo es . Por su parte, el valor máximo se alcanza en el punto de color negro de la citada Figura 6.1.6. Ese punto se encuentra en la intersección del paraboloide elíptico con la esfera . Así que sustituimos las ecuaciones del cambio en ambas ecuaciones y despejamos :

de donde deducimos que

Por consiguiente, .

Figura 6.1.6 Superficie resultante de cortar el sólido con un plano vertical.

Finalmente, fijamos y , lo cual equivale a trazar una semirrecta que parta del origen de coordenadas y corte al sólido . Esa semirrecta posee un segmento que está contenido en el sólido . Se trata de determinar los puntos de ese segmento que están más cercano y más alejado del origen de coordenadas. El punto más cercano se encuentra en el paraboloide , por lo que, sustituyendo en su ecuación las ecuaciones del cambio, concluimos que

Por su parte, el punto más alejado se encuentra en la esfera ; así que repitiendo lo mismo que antes, llegamos a que

.

Luego .

Por último, sustituyendo el cambio en la función nos queda

Ya estamos en condiciones de plantear y resolver la integral: