La integral triple y sus aplicaciones

Cálculo efectivo de la integral triple

Hemos expuesto el concepto de integral triple, hemos visto sus propiedades y sus aplicaciones, pero nos falta contar con algún método que nos permita abordar el cálculo efectivo de la misma sin necesidad de recurrir a la definición, puesto que ello no es operativo desde el punto de vista práctico. El método no es más que la generalización del Teorema de Fubini a integrales triples.

Figura 5.1 Cálculo efectivo de la integral triple.

Teorema 5.1 Teorema de Fubini para integrales triples

Sea un sólido acotado en el espacio y sea una función integrable en . Denotemos por a la región del plano sobre la que se proyecta ese sólido, y sean y dos funciones tales que para cada punto se cumple que . Entonces

El Teorema de Fubini para integrales triples nos viene a decir que la integral triple de una función podemos descomponerla en "la integral doble de una integral simple". Para ello, el proceso consta de los siguientes pasos (ver Figura 5.1):

1º) Proyectar el sólido sobre uno de los planos coordenados. En el Teorema 5.1 hemos elegido el plano , aunque podríamos haber optado por cualquiera de los otros dos.

2º) Para cada punto nos preguntamos cuál es el valor mínimo y el valor máximo de para los que hay puntos en el sólido. Esos dos valores los denotamos por y , respectivamente, y, como es obvio, dependerán de cada punto , de ahí que y son funciones y .

3º) Finalmente, la integral triple de cualquier función sobre el sólido podemos expresarla como

Conviene hacer dos observaciones importantes.

Observación 5.1 El Teorema de Fubini es perfectamente aplicable a las proyecciones sobre cualquiera de los tres planos coordenados, de modo que

Observación 5.2 La decisión de proyectar sobre uno u otro plano coordenado dependerá de las características del propio sólido . En general, debemos optar por la proyección que sea más fácilmente abordable.

Ejemplo 5.1 Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies , , , .

Resolución.

El volumen del sólido viene dado por la integral triple

El sólido al que vamos a calcular su volumen podemos verlo representado en la Figura 5.2.

Figura 5.2 Sólido limitado por las cuatro superficies del Ejemplo 5.1.

Vamos a calcular dicha integral proyectando sobre el plano . La razón por la que escogemos este plano es porque una de las superficies es el propio plano () y dos superficies más de las tres restantes son cilindros cuyas generatrices son paralelas el eje (las superficies e ). En la práctica, lo que proyectamos son curvas y no superficies. Por ello, proyectaremos las curvas que encierran a dicho sólido, de modo que la región de encerrada por tales proyecciones será la proyección de sobre .

Comenzamos por la intersección del paraboloide elíptico con el cilindro parabólico . El cilindro proyectante sobre es el propio cilindro parabólico , que se proyecta en la parábola .

También debemos proyectar la intersección del paraboloide elíptico con el plano . En este caso, el cilindro proyectante es también el propio plano , de ahí que su proyección sobre es la recta .

Así pues, la proyección del sólido sobre el plano es la región encerrada por ambas curvas, tal y como podemos ver en la Figura 5.3.

Figura 5.3 Proyección sobre del sólido del Ejemplo 5.1.

Fijado un punto , nos preguntamos ahora cuáles son los valores mínimo, , y máximo, , de para los cuales hay puntos en la región. Podemos ver que el punto de altura mínima se encuentra en el plano , mientras que el de altura máxima está en el paraboloide y, por consiguiente, y . Así pues, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos que

A partir de este momento, nuestro objetivo es hallar la integral doble de la función sobre el recinto del plano que vemos representado en la Figura 5.3. Para ello, nos basamos de nuevo en el Teorema de Fubini para el cálculo de la integral doble, de modo que

Ejemplo 5.2. Calcular la integral triple de sobre la región limitada por las superficies , , , .

Resolución.

El sólido al que vamos a calcular su volumen podemos verlo representado gráficamente en la Figura 5.4.

Figura 5.4 Sólido limitado por las cuatro superficies del Ejemplo 5.2.

Vamos a calcular dicha integral proyectando sobre el plano . La razón por la que escogemos este plano es porque una de las superficies es el propio plano () y dos superficies más de las tres restantes son cilindros cuyas generatrices son paralelas el eje (las superficies y ). En la práctica, lo que proyectamos son curvas y no superficies. Por ello, proyectaremos las curvas que encierran a dicho sólido, de modo que la región de encerrada por tales proyecciones será la proyección de sobre .

Comenzamos por la intersección del cilindro parabólico con el plano . El cilindro proyectante sobre es el propio cilindro parabólico , que se proyecta en la parábola .

También debemos proyectar la intersección de los planos e . En este caso, el cilindro proyectante es también el propio plano , de ahí que su proyección sobre OXZ es la recta .

Así pues, la proyección del sólido sobre el plano es la región encerrada por ambas curvas, tal y como podemos ver en la Figura 5.5.

Figura 5.5 Proyección sobre del sólido del Ejemplo 5.2.

Fijado un punto , nos preguntamos ahora cuáles son los valores mínimo, , y máximo, , de para los cuales hay puntos en la región. Podemos ver que el punto de altura mínima se encuentra en el plano , mientras que el de altura máxima está en el plano , con lo cual, e . Con todo ello, por el Teorema de Fubini, llegamos a que

A partir de este momento, nuestro objetivo es hallar la integral doble de la función sobre el recinto del plano que vemos representado en la Figura 5.5. Para ello, nos basamos de nuevo en el Teorema de Fubini para el cálculo de la integral doble, de modo que