Cambio de variables a coordenadas polares.
Uno de los cambios de variables más usados en el plano es el llamado cambio a coordenadas polares. Este cambio es muy útil para calcular integrales de funciones sobre regiones del plano encerradas por un trozo de circunferencia o elipse.
El cambio a coordenadas polares tiene distintas variantes, algunas de las cuales vamos a tratar a continuación. Comenzaremos por el caso más general, que consiste en fijar centro en el origen de coordenadas y asignar igual peso a los ejes coordenados. En otras palabras, es el cambio más adecuado cuando la región está parcialmente encerrada por una circunferencia de centro 
, aunque también es aplicable a otras regiones. Recordemos que a cada punto 
de plano de coordenadas 
le asignamos un nuevo par de coordenadas: 
definidas en los siguientes términos:
es la distancia que separa al punto 
del origen de coordenadas, esto es, el módulo del vector 
. Por tanto,
.
es el ángulo que forma el eje 
con el vector 
. Por tanto,
En la Figura 2.1.1 vemos gráficamente la forma de determinar ambas coordenadas.
Figura 2.1.1 Coordenadas polares en el plano.
Sin embargo, las ecuaciones que se utilizan en la integración son las del cambio inverso, es decir,
Se puede comprobar que el jacobiano del cambio es 
.
Figura 2.1.2 Región de integración del Ejemplo 2.1.1.
Ejemplo 2.1.1 Hallar la integral doble de la función 
sobre la región del plano 
.
Resolución.
La región 
es la que vemos representada en la Figura 2.1.2. Vamos a calcular esa integral mediante el cambio a coordenadas polares
.
En este caso, los intervalos de variación de los parámetros son 
y 
. Por tanto,
En el intervalo 
las funciones 
y 
tienen signo positivo, de manera que 
será positiva. En el intervalo 
las funciones 
y 
tienen signos negativo y positivo, respectivamente, de manera que 
será negativa. Por consiguiente,
llegando a la conclusión de que
El cambio a coordenadas polares tiene también una variante aplicable a regiones encerradas por una elipse o por un trozo de ella. Si la elipse es de la forma
con centro en el punto 
y con semiejes de longitudes 
y 
, entonces el cambio más apropiado suele ser, en general,
y su jacobiano en este caso es 
. A este cambio se le conoce con el nombre de cambio a coordenadas elípticas. Sin embargo, ahora el parámetro 
no es exactamente igual a la distancia desde cada punto al centro, como vamos a ver en el siguiente ejemplo.
Figura 2.1.3 Coordenadas polares (elípticas) en una región encerrada por una elipse.
Ejemplo 2.1.2 Hallar el área de la región interior a elipse 
.
Resolución.
Sabemos que el área de una elipse con semiejes de longitudes 
y 
es igual a 
. No obstante, vamos a determinarla haciendo uso de la integral doble. Tal y como hemos visto en este capítulo, el área de una región 
del plano es igual a
Como se trata de la elipse de centro 
y semiejes de longitudes 1 y 2, hacemos el cambio a coordenadas polares
En este caso, resulta evidente que 
. Para determinar el intervalo de variación de 
, fijamos un valor 
cualquiera y trazamos la semirrecta que parte del centro de la elipse y forma un ángulo 
con el eje 
(ver Figura 2.1.3). El objetivo consiste en buscar el valor de 
que corresponde a los puntos de esa semirrecta que están a máxima y mínima distancia del centro. El punto que está a mínima distancia del centro de la elipse es el propio centro (punto de color rojo de la Figura 2.1.3), por lo que 
. Por su parte, el punto que se encuentra a máxima distancia se encuentra en la propia elipse (punto de color azul). Para determinar el valor de 
que corresponde a dicho punto, sustituimos las ecuaciones del cambio a polares en la ecuación de la elipse y despejamos el parámetro 
:
Por tanto, 
, de ahí que tenemos
