Cambio de variables a coordenadas polares

La función Beta y las integrales de productos de senos y cosenos

Entre las propiedades de la función Beta, queremos llamar la atención sobre una de ellas, que nos permite expresar dicha función como el doble de la integral en del producto de potencias de seno y coseno. Nos referimos a la propiedad (3):

Las funciones seno y coseno, sus potencias y el producto de potencias de funciones seno y coseno, presentan una singularidad en los intervalos de la forma , donde y son números enteros cualesquiera, con . Vamos a precisar en ello, para lo cual, consideramos primero las funciones seno y coseno por separado.

Figura 1.5.1 Representaciones gráficas de las funciones seno y coseno.

En la Figura 1.5.1 podemos ver las gráficas de las curvas e en el intervalo . Como ya sabemos, ambas funciones son periódicas de período . Pero hay algo más: obsérvese que en cada uno de los intervalos , , y , la región plana encerrada entre la curva y el eje tiene idéntica área, con la única salvedad de que en dos de los intervalos, la región queda por debajo del eje (es decir, la función es negativa), mientras que en los otros dos, la región queda por encima (la función es positiva). Como la integral definida de una función mide el área con signo de la región plana encerrada entre la gráfica de la función y el eje , basta una simple observación de su gráfica para deducir que

es decir, en ambos casos, las "áreas negativas" se compensan con las "áreas positivas". Pero aún podemos deducir más cosas; por ejemplo,

En general, basta tener presente cuál es el signo de las funciones seno y coseno en cada subintervalo de la forma , con para poder expresar cualquier integral en como un múltiplo de la integral en . Tal y como podemos ver en las gráficas de la Figura 1.5.1, el signo de ambas funciones es el que vemos representando en la Figura 1.5.2.

Figura 1.5.2 Signo de las funciones seno y coseno en el intervalo .

Las conclusiones que acabamos de extraer para las funciones seno y coseno por separado son extensibles a cualquier función de la forma , donde y son números enteros no negativos cualesquiera. La región del plano encerrada entre la gráfica de la función en el intervalo y el eje resulta siempre de la unión de cuatro trozos de igual área, correspondientes a los subintervalos , , y . Por tanto, basta conocer el área de uno de los trozos y analizar el signo de la función en cada uno de los subintervalos anteriores para deducir el valor de la integral en . Veamos dos ejemplos. En la Figura 1.5.3 podemos ver la gráfica de la curva en el intervalo . En ella podemos apreciar que la región del plano comprendida entre dicha curva y el eje se puede dividir en cuatro partes de igual área, correspondientes cada una de ellas a los subintervalos , , y .

Figura 1.5.3 Gráfica y signo de la función en el intervalo .

Además, cada uno de los trozos se encuentra por encima del eje , debido a que la función es siempre no negativa en . Por consiguiente, deducimos que

El segundo ejemplo lo vemos en la Figura 1.5.4. Ahora tenemos la gráfica de la curva en el intervalo . Podemos comprobar una vez más la existencia de cuatro trozos de igual área en la región del plano encerrada entre la curva y el eje . Esto nos permite reducir la integral en el intervalo a la integral en el intervalo , sin más que analizar el signo de la función en cada uno de los subintervalos , , y . En las funciones y son positivas y, por tanto, la función es positiva. En la función es positiva, mientras que es negativa; por tanto, la función es negativa. En las funciones y son negativas y, por tanto, la función es positiva. Por último, en la función es negativa, mientras que es positiva; por tanto, la función es negativa. Como tenemos dos subintervalos en los que la función es positiva y dos en los que la función es negativa, deducimos que

Figura 1.5.4 Gráfica y signo de la función en el intervalo .

Llegados a este punto, cabría preguntarse cuál es el interés de reducir en este tipo de integrales el intervalo de integración a . La respuesta a este pregunta la podemos encontrar si observamos la Propiedad (3) de la función Beta de parámetros y , que nos dice que

Volvamos sobre la integral de la función en el intervalo . Según hemos visto, tenemos que

La integral resultante tiene las mismas características que la función Beta. Se trata de identificar los exponentes del seno y del coseno, es decir, de encontrar los valores de y para los cuales se cumple que

los cuales son y . En tal caso, tenemos que

Finalmente, podemos calcular el valor de la función Beta haciendo uso de su relación con la función Gamma:

Por consiguiente, tenemos que

Resolución.

(a) El integrando es de la forma , con y . En primer lugar debemos analizar el signo de la función en el intervalo . El análisis es inmediato en este caso, puesto que con independencia del signo de , cuando está elevado a potencia par se convierte en una función no negativa. Así pues,

Una vez reducido el intervalo de integración a , buscamos identificar la integral con una función Beta. Para ello es necesario conocer los valores de los parámetros y , cosa que hacemos resolviendo el sistema

cuya solución es y . Así pues,

(b) La novedad de este ejemplo con respecto a los anteriores es que ahora el intervalo de integración es . En cualquier caso, debemos reducir el mismo al intervalo , estudiando el signo de la función en . En y en la función es positiva. Como además, es también positiva por tratarse de una potencia con exponente par, deducimos que la función es positiva en ambos subintervalos. Por tanto,

El segundo paso consiste en buscar la Beta correspondiente y, para ello, resolvemos el sistema

cuya solución es y . Por consiguiente,