Curvas alabeadas. Proyecciones. Parametrización

Proyecciones de curvas sobre los planos coordenados

Cuando nos encontramos con una curva alabeada dada mediante sus ecuaciones implícitas o paramétricas, en ocasiones, resulta conveniente observar su representación gráfica desde distintos ángulos de visualización. Especialmente interesantes, sobre todo, en la Arquitectura, son las gráficas que se obtienen cuando el observador se sitúa en un punto perpendicular a uno de los planos coordenados. A las curvas que se observan en tales casos se les conoce con el nombre de proyecciones sobre los planos coordenados.

Cuando la curva viene dada mediante unas ecuaciones paramétricas, es inmediato obtener las ecuaciones paramétricas de sus proyecciones. En efecto, si es una curva alabeada de ecuaciones , entonces las parametrizaciones de cada una de sus proyecciones son:

Figura 3.1 Gráficas de la curva y de sus proyecciones.

Ejemplo 3.1 Sea la curva . Entonces las ecuaciones paramétricas de cada una de sus proyecciones son (ver Figura 3.1):

Proyección sobre el plano :

Proyección sobre el plano :

Proyección sobre el plano :

Cuando la curva viene expresada mediante unas ecuaciones implícitas, el proceso de obtención de una cualquiera de sus proyecciones consiste en determinar el cilindro proyectante y cortarlo con el plano coordenado correspondiente.

Definición 3.1 Dada una curva alabeada , se llama cilindro proyectante sobre el plano al cilindro de eje perpendicular a que contiene a la curva . Se llama cilindro proyectante sobre el plano al cilindro de eje perpendicular a que contiene a la curva . Se llama cilindro proyectante sobre el plano al cilindro de eje perpendicular a que contiene a la curva .

Recuérdese que una curva puede venir dada como intersección de diferentes pares de superficies. Por su parte, todo cilindro de eje perpendicular al plano tiene ecuación implícita de la forma , es decir, la variable puede tomar cualquier valor (no aparece explícitamente en la ecuación del cilindro). Por consiguiente, dada una curva de ecuaciones implícitas , para obtener la ecuación del cilindro proyectante sobre , basta despejar la variable de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra:

Obsérvese que la curva , inicialmente dada por las ecuaciones , también puede ser expresada como , es decir es el resultado de la intersección de dos superficies, una de las cuales, tiene ecuación implícita . Esta ecuación no depende de , sólo de e , por lo que es de la forma . Se trata, por tanto, de un cilindro de eje perpendicular al plano que contiene a la curva , es decir, del cilindro proyectante sobre de la curva . Finalmente, basta cortar ese cilindro con el plano (plano de ecuación ) para obtener la proyección de la curva sobre el plano . De este modo, la proyección de sobre es la curva de ecuaciones . El razonamiento es completamente análogo para obtener las proyecciones sobre y .