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Integrales de superficie

Superficies parametrizadas orientables. Una superficie S es orientable cuando tiene dos caras, es decir cuando no es posible pasar de un lado al otro de la superficie (salvo en todo caso atravesando el borde). Si S(u, v) con (u, v) ∈ D es una superficie orientable parametrizada regular a trozos entonces todos los vectores normales parten de la misma cara, a este sentido de los vectores normales le denominamos orientación de la superficie parametrizada. Por ello cuando se toma una parametrización de una superficie orientable queda determinada su orientación y se dice que está orientada. En lo que sigue se supondrán siempre superficies orientables aunque no se indique.

Integral de superficie de un campo escalar. Sea S una curva parametrizada regular a trozos con parametrización S(u, v) con (u, v) ∈ D. Sea f : U ⊆ℜ3→ℜ un campo escalar de forma que S ⊂ U y f es continuo en S. La integral de superficie de f sobre la superficie S se define como el número

∫∫Sf·dS = ∫∫Df(S(u, v)) ||Su × Sv|| dudv

El valor de la integral de superficie es totalmente independiente de la parametrización tomada para S.

Propiedades de las integrales de superficie para campos escalares. Sean f, g : U ⊆ℜ3→ℜ dos campos escalares continuos en U y S ⊂ U una superficie parametrizada regular a trozos.

  1. Si α, β ∈ R entonces ∫∫S(αf + βg) dS = α∫∫Sf dS + β∫∫Sg dS
  2. Si para todo (x, y) ∈ S se verifica que f(x, y) ≤ g(x, y) entonces

∫∫Sf dS ≤ ∫∫Sg dS

  1. Si S = S1 ∪ S2 disjuntas salvo quizás puntos del borde, entonces

∫∫Sf dS = ∫∫S1f dS + ∫∫S2f dS

  1. El área de la superficie S coincide con la integral de superficie sobre S del campo escalar constante igual a 1, esto es

área (S) = ∫∫S dS

Integral de superficie de un campo vectorial. Sea S una superficie parametrizada regular a trozos con parametrización S(u, v) con (u, v) ∈ D. Sea F : U⊆ℜ3→ℜ3 un campo vectorial de forma que S ⊂ U y F es continuo en S. La integral de superficie de F (o flujo) sobre S se define como el número

∫∫SF dS = ∫∫DF (S(u, v)) (Su × Sv) dudv

El valor de la integral de superficie depende de la orientación de la parametrización tomada para S, es decir es independiente salvo por la orientación.

Propiedades de las integrales de superficie para campos vectoriales. Sean F, G : U⊆ℜ3→ℜ3 dos campos vectoriales continuos en U y S ⊂ U una superficie parametrizada regular a trozos.

  1. Si α, β ∈ R entonces ∫∫S(αF + βG) dS = α∫∫SF dS + β∫∫SG dS
  2. Si −S representa la misma superficie S pero parametrizada con orientación opuesta a la dada inicialmente entonces

∫∫-SF dS = -∫∫SF dS

  1. Si S = S1 ∪ S2, con las orientaciones dadas por S, entonces

∫∫SF dS = ∫∫S1F dS + ∫∫S2F dS