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Respuesta a entrada cero y estado cero

Básicamente, la respuesta de un circuito LTI, entendida como la señal medida en la terminal definida como la salida del circuito a partir de un instante de tiempo que consideraremos inicial, dependerá tanto de la señal de excitación aplicada al circuito a partir del instante inicial, como de la historia del circuito hasta dicho momento, contenida en lo que llamaremos condiciones iniciales, o estado inicial del circuito. De este modo, la respuesta completa del circuito puede descomponerse en una parte realcionada con la excitación. A esta la llamaremos respuesta al estado cero, o bien, respuesta a la entrada. Si el sistema estuviera inicialmente relajado, sólo observaríamos la respuesta a la entrada. Y por otro lado, la respuesta a entrada nula, o, respuesta al estado. Que es la respuesta que se originaría en ausencia de excitación, causada únicamente por la condiciones iniciales. Veámos cómo se obtienen la respuesta al estado cero y a la entrada nula, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de Laplace.

En el dominio del tiempo

Nos planteamos previamente otra cuestión básica: ¿puede expresarse la respuesta a estado cero para una excitación arbitraria a partir de la respuesta a una excitación simple?. De aquí se obtienen dos cuestiones derivadas: (1) ¿puede expresarse una excitación arbitraria como suma de excitaciones simples? y si es así, (2) ¿puede expresarse la respuesta del circuito como suma de las respuestas a las componentes de la excitación?

Para responder a la primera pregunta recurrimos al concepto de impulso y respuesta al impulso. Por la propiedad de muestreo podemos expresar una entrada arbitraria, a partir del instante t=0, como una convolución de la señal de entrada con la función impulso (delta de Dirac):

(1.4)

O sea, que podemos describir la entrada como una suma de señales simples.

Además, podemos definir h(t) como la respuesta del sistema a una excitación tema1-10, o sea, como la respuesta impulsiva del sistema. Puesto que el sistema es lineal, h(t) puede obtenerse a partir de los polos del sistema (concepto que introduciremos más tarde). O sea, que conocemos la salida para cada una de estas señales simples por separado.

Para responder a la segunda pregunta, aplicaremos el principio de superposición, ya que el circuito es LTI, y puesto que la entrada puede definirse como una suma (infinita) de impulsos, y conocemos la respuesta del sistema a un impulso, la respuesta vendrá dada por la integral de convolución:

(1.5)

En general, para obtener la respuesta a estado cero de un circuito LTI en el dominio del tiempo nos limitaremos a resolver la ecuación diferencial que lo describen (1.3), ya que el procedimiento que seguiríamos para obtener la respuesta impulsiva, tema1-13, del circuito LTI sería parecido al que emplearíamos para hacer este estudio en le dominio de Laplace.

Para obtener la respuesta a entrada nula, o sea, la respuesta al estado, tendremos dos opciones:

1) Introducir las condiciones iniciales como constantes en el proceso de integración de la ecuación diferencial que describe el circuito.

2) Considerar las condiciones iniciales en los elementos reactivos como fuentes equivalentes (Fig. 1.4) y aplicar el principio de superposición.

En el dominio de la frecuencia

Un método alternativo a la obtención de la respuesta en el dominio del tiempo consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, para transformarla en una ecuación algebraica, y solucionar el problema en el dominio de Laplace. Es decir, para un tema1-15, obtener Y(s) y finalmente aplicar la transformada inversa para obtener tema1-17(Fig. 1.5).

Para calcular la respuesta a estado cero en el dominio de Laplace consideraremos, sin pérdida de generalidad, un circuito LTI con una entrada y una salida, descrito por la ecuación:

tema1-19(1.6)

Debido a que:

tema1-20(1.7)

y como, encontrándonos en estado cero:

tema1-21(1.8)

al aplicar la transformada de Laplace a (1.6) obtenemos:

(1.9)

En el dominio de la Laplace la salida a estado cero se obtiene multiplicando a la entrada por la función de red (o función de transferencia, o función del sistema) correspondiente. Puesto que:

(1.10)

encontramos que la función de sistema correspondiente a una determinada fuente de entrada, y una terminal de salida dada es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso:

tema1-24 (1.11)

En el dominio de la frecuencia hay dos vías para calcular la respuesta a entrada cero:

1) Introduciendo las condiciones iniciales en la transformada de la derivada, por la propiedad descrita en la ecuación (1.7).

2) Considerando las condiciones iniciales en los elementos reactivos como fuentes equivalentes y aplicando el principio de superposición, como hemos visto en el dominio del tiempo.