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Multiplicidad Algebraica y Geométrica

Definición

El número de veces que un autovalor λ se repite como raíz del polinomio característico se llama multiplicidad algebraica y se representa por ma(λ) : El número máximo de autovectores linealmente independientes que tiene asociado un autovalor λ, es decir la dimensión de N(A - λI), se llama multiplicidad geométrica de λ y se representa por mg(λ). Estos dos números están relacionados por una desigualdad:

mg(λ) ≤ ma(λ)

No incluimos en estos apuntes la demostración de dicha desigualdad.

En la desigualdad anterior se encuentra la clave de que una matriz sea diagonalizable: si algún autovalor verifica mg(λ) < ma(λ) entonces A no puede ser diagonalizable. Para verlo, supongamos por ejemplo que A es una matriz de orden 5 con dos autovalores: λ1 (repetido tres veces) y λ2 (repetido dos veces), de manera que mg(λ1) = ma(λ1) = 3 pero mg(λ2) = 1 < ma(λ) = 2. Los autovectores de una matriz tienen que estar asociados necesariamente a algún autovalor, luego el máximo número de autovectores linealmente independientes que se pueden calcular es tres para λ1 y uno para λ2. En total, lo máximo son cuatro y para completar una base de C5 necesito cinco vectores. Luego una matriz así no puede ser diagonalizable.

Por el contrario, supongamos ahora que A es una matriz de orden 5 con dos autovalores: λ1 (repetido tres veces) y λ2 (repetido dos veces), de manera que mg(λ1) = ma(λ1) = 3 y mg(λ2) = ma(λ) = 2. Eso significa que λ1 tiene asociados tres vectores linealmente independientes, {v1, v2, v3} y λ2 tiene asociados dos vectores linealmente independientes, {v4, v5}. Si fuese cierto que no hay dependencia lineal entre autovectores asociados a autovalores distintos entonces el sistema {v1, v2, v3, v4, v5} sería una base de C5 y por lo tanto A sería diagonalizable:

A = PDP-1, donde P = [v1, v2, v3, v4, v5] y D = diag(λ1, λ1, λ1, λ2, λ2).

La siguiente propiedad muestra que eso es cierto y la consecuencia de ello es que una matriz es diagonalizable si y sólo si cada autovalor tiene la misma multiplicidad algebraica que geométrica.

Propiedades

Supongamos que A es una matriz de orden m. Se verifican las siguientes propiedades:

  1. Si {v1, . . . , vk} son autovectores de A correspondientes a autovalores distintos λ1, . . . , λk, entonces {v1, . . . , vk} son linealmente independientes.
  2. Sean λ1, . . . , λk autovalores de A distintos dos a dos. Supongamos que {v1,1, . . . , v1,i1} son autovectores linealmente independientes asociados a λ1,...,{vk,1, . . . , vk,ik} son autovectores linealmente independientes asociados a λk: Entonces el conjunto formado por todos ellos

{v1,1, . . . , v1,i1 , . . . , vk,1, . . . , vk,ik}

es linealmente independiente.

Demostración

  1. Ya se ha visto esta propiedad antes para matrices de orden 2, aunque es lo mismo.
  2. Supongamos que tenemos una combinación lineal nula de dos autovectores : α1v1 + α2v2 = 0. Si multiplicamos la igualdad en primer lugar por A y en segundo lugar por λ2 obtenemos:

    A(α1v1 + α2v2) = α1Av1 + α2Av2 = α1λ1v1 + α2λ2v2 = 0
    λ21v1 + α2v2) = α1λ2v1 + α2λ2v2 = 0

    Si restamos las igualdades obtenidas sale

    α1(λ2 - λ1)v1 = 0

    Como el número λ2 - λ1 no puede ser cero y el vector v1 tampoco, se deduce que α1 = 0. Si sustituimos este dato en α1v1 + α2v2 = 0 se deduce que α2v2 = 0 y .nalmente que α2 = 0. Hemos demostrado que la única combinación lineal nula de {v1, v2} es la trivial, por lo tanto {v1, v2} son linealmente independientes.

  3. Supongamos que tenemos una combinación lineal nula de tres autovectores: α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0 Si multiplicamos la igualdad en primer lugar por A y en segundo lugar por λ3 obtenemos:

    A(α1v1 + α2v2 + α3v3) = α1Av1 + α2Av2 + α3Av3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0,
    λ31v1 + α2v2 + α3v3) = α1λ3v1 + α2λ3v2 + α3λ3v3 = 0

    Si restamos las igualdades obtenidas sale

    α1(λ3 - λ1)v1 + α2(λ3 - λ2)v2 = 0

    Como ya hemos demostrado que fv1; v2g son linealmente independientes, se deduce que

    α1(λ3 - λ1) = α2(λ3 - λ2) = 0

    Pero λ3 - λ1 y λ3 - λ2 son distintos de cero. La única posibilidad es α1 = α2 = 0. Si sustituimos este dato en α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0 se deduce que α3v3 = 0 y finalmente que α3 = 0. Hemos demostrado que la única combinación lineal nula de {v1, v2, v3} es la trivial, por lo tanto {v1, v2, v3} son linealmente independientes. Y así sucesivamente se demuestra que todos son linealmente independientes.

  4. Supongamos que tenemos una combinación lineal nula de esos autovectores:

    Cada bloque de vectores está asociado al mismo autovalor. Por ejemplo, {v1,1, . . . , v1,i1} son vectores que pertenecen a N(A - λ1I). Un núcleo es un subespacio vectorial y por lo tanto contiene a todas las combinaciones lineales de sus propios vectores. Eso significa que v1 ∈ N(A - λ1I). Por lo tanto, o bien v1 = 0 o bien es autovector de λ1 (recuerde que de la definición de autovector se ha excluido el vector nulo). El mismo razonamiento se puede aplicar a los demás y se llega a que

    v1 + . . . + vk = 0

    es una combinación lineal nula (con coe.cientes iguales a 1) de vectores que o bien son cero o bien son autovectores asociados a autovalores distintos. En el apartado anterior se ha visto que la segunda posibilidad no se puede dar. Luego todos son el vector nulo. Por lo tanto,

    v1 = α1,1v1,1 + . . . + α1,i1v1,i1 = 0

    es una combinación lineal nula de vectores linealmente independientes. Eso obliga a todos los coeficientes a ser cero:

    α1,1 = . . . = α1,i1 = 0

    Los demás bloques están en las mismas condiciones y por lo tanto verifican lo mismo: todos los coeficientes necesariamente son cero. Eso demuestra que los vectores de partida son linealmente independientes.

Observación

Si un autovalor es simple entonces la multiplicidad algebraica es 1 y la multiplicidad geométrica es un número entero mayor o igual que 1 (pues en N(A - λI) hay al menos un autovector que es un vector no nulo) y menor o igual que 1 (como hemos señalado al principio de la sección). Por lo tanto los autovalores simples siempre verifican la condición:

λ es simple ⇒ mg(λ) = ma(λ) = 1

De ahí que en los ejercicios que realicemos más adelante estudiando cuándo una cierta matriz es diagonalizable sólo estudiemos el comportamiento de aquellos autovalores que sean múltiples.

Como consecuencia inmediata de las propiedades anteriores se deduce la siguiente caracterización de las matrices diagonalizables.

Teorema

Una matriz A es diagonalizable si y sólo si todos sus autovalores tienen la misma multiplicidad algebraica que geométrica. En particular, si todos los autovalores de una matriz A son distintos entre sí, es decir, si todos son simples, entonces A es diagonalizable.