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Producto escalar euclideo. Norma euclidea de un vector. Distancia. Topología en Rn

Es interesante en Economía y en cualquier otra disciplina técnica el concepto de límite y esto implica el estudio de la proximidad entre puntos.

Para poder introducir la proximidad matemáticamente, hablaremos del Espacio Euclideo , que no es más que el espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar.

Definición 5.1.: Sean y dos vectores de llamamos producto escalar euclideo a:

Ejemplo 5.1.: Calcular el producto escalar de los siguientes vectores y

Definición 5.2.: Todo espacio vectorial real en el que hay definido un producto escalar euclideo se denomina Espacio Euclideo.

Propiedades 5.1:

  1. (es una operación escalar).
  2. y (es definida positiva).
  3. (es simétrica).
  4. (es lineal).

A partir del concepto de producto escalar, podemos definir un concepto nuevo, que es el concepto de norma, que nos va a servir para estudiar la proximidad entre dos vectores. Hay varios tipos de norma pero nosotros solo vamos a estudiar la norma que definimos a través del producto escalar

Definición 5.3.: La norma euclidea o módulo de un vector es

Ejemplo 5.2.: calcular la norma del vector .

Propiedades 5.2.:

  1. (es una operación escalar)
  2. con (es definida positiva)
  3. (desigualdad triangular)

Definición 5.4.: Si una operación, , está definida sobre un espacio vectorial y verifica todas las propiedades anteriores, diremos que dicho espacio tiene estructura de espacio normado.

Proposición 5.1.: En el espacio normado se verifica la desigualdad de Cauchy-Schwartz

Además si tendremos que , por lo que podemos definir que nos da una relación entre el ángulo entre dos vectores y el producto escalar.

Definición 5.5.: En el espacio decimos que la aplicación

es una distancia si verifica:

Ejemplo 5.3.: comprobar que es una distancia en , que se denomina distancia euclidea y es la que siempre utilizaremos.

Bastaría probar que verifica las tres condiciones de la definición de distancia. En efecto:

Definición 5.6.: Al espacio euclideo que se le ha dotado de una distancia se le denomina espacio métrico.

Definición 5.7.: Consideremos el espacio métrico , y sea . Definimos bola abierta de centro y radio como

Ejemplo 5.4.: de bolas abiertas con la distancia euclidea

que no es más que un intervalo abierto en .

Que no es más que el interior de la circunferencia de centro y radio cuya ecuación es .

En es lógico intuir que la sería el interior de una esfera de centro , de aquí es de donde intuitivamente puedes deducir porqué se llaman bolas (generalizando).

Definición 5.8.: Definimos bola cerrada de centro

Como es lógico podríamos estudiar las bolas cerradas como en el ejemplo 5.4 con la única diferencia que en este caso las desigualdades no serían estrictas, por ejemplo en sería el interior de la circunferencia y ésta también.

Definición 5.9.: Un conjunto se dice que es un conjunto abierto cuando es el vacio ó cuando .

Observación 5.1.: la idea gráfica de un conjunto abierto, es la de aquel que nocontiene los "bordes". Esto es, que está "abierto" por las fronteras.

Ejemplo 5.5.: comprobar que el conjunto es un abierto en y

es un conjunto abierto en

En efecto, el conjunto está abierto en () y en . El conjunto tampoco contiene la frontera, luego es abierto.

Definición 5.10.: un conjunto se dice que es un conjunto cerrado es abierto. Es decir si y solamente si el complementario de es abierto.

Ejemplo 5.6: el conjunto es cerrado. En efecto el conjunto es cerrado puesto que es un conjunto abierto.

Sin embargo hay que hacer notar que hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados por ejemplo . No es abierto en y su complementario no es abierto en , por tanto el conjunto tampoco es cerrado.

Definición 5.11.: Diremos que es un punto de acumulación de si en cualquier existen puntos de distintos de .

El conjunto formado por todos los puntos de acumulación de se llama conjunto derivado de y se representa por .

Nota 1.: es un punto de acumulación de si existen puntos de distintos de tan próximos como se quiera aunque el propio punto pueda pertenece o no a .

Ejemplo 5.7.: Hallar los puntos de acumulación de los conjuntos

Vamos a calcularlos:

  1. porque tan cerca como queramos de estos puntos hay otros puntos del conjunto. Obsérvese que , pero se le acumulan cerca otros puntos de conjunto. Sin embargo, aunque el , no tiene cerca, acumulados, otros puntos de . Es lo que se llama un punto aislado del conjunto .
  2. , es una sucesión de puntos aislados, por tanto no son de acumulación, pero estos términos se van acumulando en torno al límite con lo cual