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Gráficas en coordenadas polares

Sistema de coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares en el plano se basa en la elección como sistema de referencia para ℜ2 el punto O (el origen de coordenadas) y el semieje polar, correspondiente a la parte positiva del eje OX cartesiano. Las coordenadas polares de un punto del plano P∈ℜ2 son (r, θ) donde: r es el radio polar, esto es la distancia del punto P al origen de coordenadas O; y θ es el ángulo polar, esto es el ángulo que forma el segmento OP con el semieje polarmedido en sentido positivo (contrario al movimiento del reloj). Cada punto del plano distinto del origen puede representarse de manera única en coordenadas polares, con la salvedad de que el ángulo polar queda determinado salvo múltiplos enteros de 2π. Así, conocidas las coordenadas polares de un punto P = (r, θ) se calculan sus coordenadas cartesianas, P = (x, y) como

x = r cos θ,

y = r sen θ.

Al contrario, si son conocidas las coordenadas cartesianas del punto P = (x, y) entonces sus coordenadas polares P = (r, θ) se calculan como:

θ = arctan (y/x),

tomando en cada caso la rama de la arcotangente en [0, 2π] de forma que su coseno tenga el mismo signo que la coordenada x (o su seno el mismo signo que la coordenada y). Para el caso del origen O la representación del ángulo es cualquiera, luego bastará con que el radio sea cero para que quede determinado.

Curva en coordenadas polares. Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = r(θ) con θ∈I (I un intervalo cualquiera), es decir donde se interpreta la variable independiente como el ángulo polar de los puntos y la variable dependiente como el radio polar de los mismos. Esto es, la curva es el conjunto {(r(θ), θ) : θ∈I} con (r(θ), θ) coordenadas polares de puntos del plano.

Papel polar. La situación de los puntos en el plano polar depende del ángulo y el radio polar, por ello interesa el uso, como marcas de localización o mallado, de las curvas en coordenadas polares más sencillas. La curva de ecuación r = r0 es la circunferencia de centro el origen O y radio r0. La curva de ecuación θ = θ0 es la semirecta que parte del origen O formando un ángulo de θ0 radianes con el semieje polar.

Simetrías en coordenadas polares. El estudio de las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen cuando la curva viene descrita en coordenadas polares, r = r(θ), se realiza de la siguiente forma:

  1. Simetría respecto del eje OX. La curva en polares definida por r = r(θ) es simétrica respecto del eje OX si se verifica para todo θ del dominio de la función que
    r(-θ) = r(θ).
  2. Simetría respecto del eje OY. La curva en polares definida por r = r(θ) es simétrica respecto del eje OY si se verifica para todo θ del dominio de la función que
    r (π − θ) = r(θ) .
  3. Simetría respecto del origen O. La curva en polares definida por r = r(θ) es simétrica respecto del origen O si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (π + θ) = r(θ).

Recta tangente en coordenadas polares. Sea una curva en coordenadas polares definida por la función r = r(θ) para θ∈(α, β) . Si r es derivable en θ0∈(α, β) entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (r(θ0), θ0) es

En particular, para calcular los puntos donde las rectas tangentes son horizontales se plantean las siguientes condiciones

r'(θ) sen θ + r(θ) cos θ = 0

r'(θ) cos θ − r(θ) sen θ ≠ 0.

O bien, para que las rectas tangentes sean verticales estas otras condiciones

r' (θ) sen θ + r (θ) cos θ ≠ 0

r'(θ) cos θ − r (θ) sen θ = 0.

Los puntos donde r'(θ) sen θ + r(θ) cos θ = r'(θ) cos θ − r(θ) sen θ = 0 producen una indeterminación en la fórmula anterior de la pendiente y deben ser estudiados de forma particular.

Esbozo de una curva en coordenadas polares. Para realizar un trazado elemental de una curva en polares r = r(θ) pueden seguirse las siguientes indicaciones.

  1. Determinar el periodo de la función, si lo tuviese.
  2. Encontrar los intervalos de existencia, su dominio. Debe tenerse en cuenta que, para interpretarse las variables como coordenadas polares, el radio r debe ser siempre no negativo.
  3. Realizar un estudio de las posibles simetrías.
  4. Hallar algunas rectas tangentes notables, por ejemplo las horizontales y las verticales.
  5. Realizar una tabla de valores para aquellos ángulos significativos.
  6. Estudio del comportamiento de r frente a θ.